苦手分野の問題に挑戦する：あべの数学 編

こんにちは。竹下りやです。

誰しも人には不得意なものがあるものです。個性豊かなロクヨリライターの皆さんにも、得意不得意があります。

今日はあべくんに、苦手な数学に関する問題を出してみました。

登場人物

数学はセンター試験で解いたけど、配点が低かったので殆ど勉強していない文系大学卒。

あべ

竹下りや

この記事の筆者。高専でたくさん数学やった。

出題

竹下りや

今回はあべくんの苦手な数学に関する問題を持ってきました。

やったぜ。

あべ

竹下りや

こちらです。

1.三平方の定理(ピタゴラスの定理)の公式を書け

2.三平方の定理を証明せよ

3.以下を示せ

割とガッツリ数学の問題じゃん！もっと一問一答クイズみたいなものを想定していた。

あべ

竹下りや

1.からやっていきましょう。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の公式

図形は頭の中に思い浮かぶ。なんかこういうやつ。

あべ

竹下りや

いいね、いかにも三平方って感じの図。

描いてみてわかった！だから、、、あれ、「公式を書け」って言われても、どうすれば良いんだっけ、数学やらなすぎて分からなくなってる

あべ

だから、こうやって辺の長さをa, b, cってすると、

あべ

斜辺を一辺とする正方形の面積が、他の辺の二乗を足したものになる

あべ

これが、ピタゴラスの定理だったような、気が、します！

あべ

竹下りや

お見事、正解です！

やったー！ちょっと自信なかった

あべ

竹下りや

最初に描いてくれた図を見てちゃんと覚えてるなって思った。

竹下りや

ある博物館に、あべくんが最初に書いてくれた図のcの二乗のところに水が入ってて、回転してaの二乗とbの二乗のところにピッタリ水が満タンになるっていう展示があったのを思い出した。

それは面白いな

あべ

竹下りや

合ってるからマルあげましょうね

やったー、この年になってマルもらえるの嬉しい

あべ

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明

え～cの二乗のところに水入れて回転させればいいじゃないの

あべ

竹下りや

それは証明にはならんよな、どんな直角三角形であってもそれが成り立つことをちゃんと示さないといけない。

そしてこれ今気づいたんだけど、これって直角三角形だけなの！？任意の三角形で成り立つと思っていた。

あべ

竹下りや

ああっ、ここ(赤の角)は直角じゃないとダメだよ

竹下りや

三平方の定理を拡張した余弦定理というものがあって、それならどんな三角形でも適用できる。高校で習ったと思う。

覚えてないなあ～

あべ

う～ん、証明ってどうやるか忘れちゃった。

あべ

竹下りや

証明にも作法みたいなものがあるよね。

証明ってどうやったらいいか分からないから、ちょっとお手上げです。

あべ

竹下りや

これねえ、僕が中学生のときにちょっと感動した話なのでいつか取り上げたいなって思ってたんですよ。

答え

竹下りや

こういう図形を考えます。

さっきの直角三角形が4つ、回転して合体している。

あべ

竹下りや

これの外周の正方形の面積を考えます。二通りの書き方ができる。

竹下りや

まず、a+bを一辺とする正方形の面積は

竹下りや

そして、これを4つの直角三角形と、cを一辺とする1つの正方形の和と考えると

竹下りや

これらは同じになるはずなので、

竹下りや

コレを解けば良い！

ほえ～！

あべ

竹下りや

すごくない？これ

面白いね。

あべ

竹下りや

僕が中学生のときに見たネットの記事で「逆に、美しくない数式ってなんなの」って言った人がいて、「二次方程式の解の公式」って答えた人がいたのよね。（下記）

竹下りや

それに比べれば三平方の定理って綺麗にまとまってるなって思って、それが初めて「数学って美しい」のかもしれん、と中学生の時の僕は思ったわけです。

確かにそれは美しいのかもしれん。

あべ

三角比の公式を示す

竹下りや

これね。

出た！θ(シータ)。何がシータやねん。

あべ

竹下りや

別にα(アルファ)でも良いよ

竹下りや

これも思い出深い問題ですね。僕が高専の一年生のときに、授業態度が悪くてブチギレた数学の先生が、これを証明する問題をその場で抜き打ちテストとして出したのです。三角比をさっき習ったばかりの僕らに。

鬼だな。

あべ

竹下りや

僕は解けたけど。

そもそも、サイン・コサイン・タンジェントが何だったかを思い出すところから始めないと。

あべ

竹下りや

思い出しましょう。

こういう直角三角形の3辺を、ゴチャゴチャやったらサインになったりコサインになったりするんだよね。

あべ

竹下りや

大体合ってそう。

ん～でも思い出せない

あべ

竹下りや

サイン・コサイン・タンジェントは、こういう直角三角形のここの角度をθとして、このように表せるわけですよ

竹下りや

なので、コレの二乗を考えれば良い

やってみるかあ、sinの2乗とcosの2乗だから、分数は分母・分子で掛け算できるので、

あべ

分母が同じだから足し算できて、

あべ

う～ん、ここまで出来たけど

あべ

竹下りや

それ、1になるんですよ。何故か分かります？

え～なんで？

あべ

竹下りや

考えましょう。

あ～！これ三平方の定理で aの二乗+bの二乗 は cの二乗 と等しくなるんだ！だからこれ1か！

あべ

竹下りや

よくできました

解き終えて感想

これ、おもしろ！

あべ

竹下りや

でしょ！？

今回だと直角三角形っていう一つのテーマがあって、最後のやつとか伏線回収じゃん。パズルみたいで楽しいな。

あべ

竹下りや

楽しいでしょ

年配の人が退職後、数学にハマるのを時々見かけるけど、ちょっと気持ち分かった気がするわ

あべ

ということで、数学の楽しさがめでたく伝わったようですし、この企画やってよかった。
今度はあべくんが僕の苦手な分野で問題を出してくれるはず。
次はどんな楽しさに出会えるか、楽しみにしています。